有限元基础

一、 课程介绍

有限元方法基于数学与力学原理，采用计算机信息化分析手段，完整获取复杂工程问题及科学研究中的定量化结果，也被称为一种基于计算机信息化处理的“虚拟实验”，在数学上它是求取复杂微分方程近似解的有效工具，是现代数字化科技的一种重要基础性原理。有限元分析的力学基础是弹性力学，方程求解的数学原理是加权残值法和泛函极值原理，实现的方法是数值化离散技术，最终的载体是有限元分析软件。

Introduction

The finite element method is based on the principles of mathematics and mechanics, and uses computerized information analysis methods to completely acquire the quantitative results in complex engineering and scientific research. It is also called a “virtual experiment” based on computerized information processing. It is an effective tool for obtaining approximate solutions to complex differential equations and is an important basic principle of modern digital technology.  The mechanical basis of finite element analysis is elastic mechanics. The mathematical principles of equation solving are the weighted residual method and the functional extremum principle. The realization method is numerical discrete technology. The ultimate carrier is the finite element analysis software.

 

 

 

二、教学大纲

1、教学目的

有限元基础是工业设计专业的选修课程，通过本课程的学习，使学生能够理解并掌握有限单元法的基本概念、理论和方法，真正理解有限元法的本质， 提高学生对复杂问题的建模简化和工程问题的研究能力，为解决实际问题奠定理论基础。

2、教学要求

通过本课程的学习，需要掌握有限元分析的力学基础、其中包括三大类基本变量，三大类基本方程、两类边界条件、平面应力和平面应变等基本问题；掌握有限元分析的数学原理，包括加权残值法、虚功原理，最小势能原理等；掌握杆梁结构和连续体弹性问题的有限元分析原理和求解计算方法；掌握有限元建模原则与方法。

3、预备知识或先修课程要求

微积分、线性代数、材料力学

4、教学方式

理论教学以课堂讲授为主，配以适当的讨论，采用多媒体授课；试验部分以学生分组操作为主，教师引导、答疑为辅。

5、实验环境和设备

吉林大学Pace中心和电脑

6、课程教学内容及学时分配

第1章 引论（3.0学时）

1.1  概况（0.6学时）

1.2  结构分析的目的（0.1学时）

1.3  数值分析与实验分析的比较（0.2学时）

1.4  力学的分类（0.3学时）

1.5  变形体力学的要点（0.2学时）

1.6  微分方程的求解方法（0.6学时）

1.7  关于函数的逼近方式 （0.3学时）

1.8  针对复杂几何域上的函数表征及逼近（0.2学时）

1.9  有限元的核心（0.2学时）

1.10 有限元发展的历史与分析软件 （0.3学时）

教学重点：变形体力学的要点与微分方程的求解方法

习题作业：查阅文献了解新型有限元理论

学习要求：了解有限元分析的发展历史、分析软件和应用，熟悉力学的分类，重点掌握变形体力学的要点、关于函数的逼近方式以及微分方程的求解方法等。

第2章 基于直接刚度法的杆系有限元方法（3学时）

2.1 弹簧的力学分析原理（0.3学时）

2.2 弹簧单元与杆单元的比较（0.2学时）

2.3 杆单元的坐标变换（0.2学时）

2.4 斜支撑（1.0学时）

2.5 典型例题及详解（1.3学时）

教学重点：弹簧与杆单元的力学分析原理与计算

习题作业：三杆平面桁架有限元计算

学习要求：理解弹簧与杆单元的力学分析原理，掌握桁架结构的有限元计算等。

第3章 针对复杂几何形状变形体的力学描述（4.3学时）

3.1 力学描述的基本思路及关于变形体材料的基本假设（0.2学时）

3.2 指标记法（0.2学时）

3.3 关于三大变量及三大方程的思路（0.2学时）

3.4 平面问题三大类方程的构建（1.1学时）

3.5 两类边界条件（0.2学时）

3.6 几种特殊情况的讨论（0.5学时）

3.7 简单拉杆问题的完整弹性力学求解（0.2学时）

3.8 平面纯弯梁的描述及求解（0.4学时）

3.9 空间弹性问题的完整描述（0.3学时）

3.10例题及详解（1学时）

教学重点：平面问题三大类方程的构建、平面纯弯梁的描述及求解

习题作业：采用取微元体的方法建立起一维问题的全部基本方程和边界条件，并求出它的所有解答。

学习要求：理解指标记法和三大类变量的概念，掌握三大方程的推导及平面纯弯梁的描述及求解。

第4章 变形体力学方程求解的试函数方法的原理（3.3学时）

4.1 变形体力学方程求解的主要方法分类及试函数方法（0.5学时）

4.2 平面弯曲梁求解的试函数方法-残值处理法（0.2学时）

4.3 如何降低对试函数的高阶导数要求（0.3学时）

4.4 平面弯曲梁求解的能量原理（0.3学时）

4.5 平面弯曲梁求解的最小势能原理的变分基础（0.4学时）

4.6 一般弹性问题的能量原理（0.6学时）

4.7 例题及详解（1学时）

教学重点：变形体力学方程求解的主要方法分类及试函数方法、平面弯曲梁求解的最小势能原理的变分基础和一般弹性问题的能量原理。

习题作业：证明一维问题最小势能原理与原基本方程的关系。

学习要求：掌握变形体近似求解的加权残值法、虚功原理和最小势能原理等。

第5章 基于试函数方法的经典实现及有限元实现（1.2学时）

5.1 基于试函数的经典方法与有限元方法（0.8学时）

5.2 有限元方法中的基本步骤（0.4学时）

教学重点：基于试函数的经典方法和有限元方法的比较，有限元方法的基本步骤。

习题作业：简述有限元分析的基本步骤和相对应的基本表达式。

学习要求：掌握基于试函数的经典方法、有限元方法和有限元法的基本步骤等。

第6讲 杆、梁结构的有限元分析（4.0学时）

6.1 局部坐标系中的杆单元构建（1.0学时）

6.2 局部坐标系中的平面纯弯梁单元构建（0.4学时）

6.3 局部坐标系中的一般梁单元构建（0.3学时）

6.4 梁单元的坐标变换（0.3学时）

6.5 分布力的处理（0.2学时）

6.6 例题及详解（1.8学时）

教学重点：杆梁单元的构建及梁单元的坐标变换。

习题作业：两杆结构的有限元计算

学习要求：理解分布力的处理方法，掌握杆单元和梁单元刚度矩阵的推导计算、梁单元的坐标变换等

第7章 连续体结构的有限元分析（4.6学时）

7.1 平面3节点三角形单元（1.0学时）

7.2 平面4节点矩形单元（1.0学时）

7.3 分布力的处理（0.2学时）

7.4 空间4节点四面体单元（0.3学时）

7.5 空间8节点正六面体单元（0.2学时）

7.6 参数单元的原理（0.5学时）

7.7 数值积分（0.4学时）

7.8 例题及详解（0.4学时）

7.9 自然坐标及三角形单元的推导（0.5学时）

7.10平板弯曲问题的有限元方法简介（0.1学时）

教学重点：三角形单元、矩形单元、参数单元。

习题作业：矩形平板结构的有限元计算

学习要求：理解分布力的处理方法、参数单元的原理，掌握3节点三角形单元、4节点矩形单元刚度矩阵的推导计算、数值积分和灵活应用自然坐标等

第8章 有限元建模原则与方法（0.6学时）

8.1 有限元分析过程及有限元建模的重要性（0.1学时）

8.2 有限元模型的数据及有限元建模的一般步骤（0.2学时）

8.3 提高精度的措施与单元分类（0.1学时）

8.4 网格划分方法及边界条件的建立（0.2学时）

教学重点：有限元模型的数据和有限元建模的一般步骤。

习题作业：根据网格分界面和分界点，划分网格。

学习要求：理解有限元建模的重要性，熟悉单元的分类方法。掌握有限元模型的数据组成、有限元建模的一般步骤、提高精度的措施和网格划分方法。

7、实验项目内容、学时分配、实验小组

序号	实验项目名称	内容提要	实验类型	学时 分配	分组 人数	实验 地点	教学 要求
1	悬臂梁受集中力有限元分析	建立梁单元，仿真结果和理论解对比	演示性	4	1	吉林大学Pace中心	根据 实验 报告 进行 评价
2	平面小孔应力集中问题的有限元分析	建立平面小孔应力集中问题的有限元模型，仿真结果和理论解对比	研究性	4	1

 

8、考核要求、考核方式及成绩评定标准

考查课，按照出勤、作业、答卷和实验报告完成情况综合评定。其中课程考核成绩由期末考试（70%）、平时成绩（15%）和实验效果（15%）三部分组成。最后的成绩以优秀、良好、中等、及格及不及格5个等级记载。